Quanten-Syteme
1.2 Informations-übertragung
2 Natürlich-verschränkte Systemeung
3 Erzeugung verschränkter Systeme
4 Anwendungen
5 Mathematische Betrachtung
6 Test auf Verschränkung
7 Siehe auch
8 Literatur
Literatur
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Quantencomputer, die theoretischen Grundlagen
Quantenverschränkung
Anwendungen
Quantenschlüsselaustausch: Sicherer Austausch von
Schlüsseln zwischen zwei Kommunikationspartnern zur verschlüsselten Übermittlung
von Information. Der Austausch ist sicher, weil es nicht möglich ist, ihn ohne
Störung abzuhören. Die austauschenden Partner können daher ein „Mithören“ beim
Schlüsselaustausch bemerken.
Quantencomputer: Bei Berechnungen mittels Qubits auf
einem Quantencomputer wird bei manchen Algorithmen die Verschränkung von Qubits
untereinander genutzt. Mit Quantencomputern könnten Probleme gelöst werden, die
mit konventionellen Computern zwar prinzipiell lösbar sind, jedoch nur mit nicht
realisierbarem Zeitaufwand.
Generell ist die Erzeugung verschränkter Systeme
nicht einfach, weshalb bisher kein praktisch anwendbarer Quantencomputer für
komplexe Berechnungen existiert. 2010 gelang es einem Team amerikanischer
Wissenschaftler, mithilfe des „Frequenzkamm“-Prinzips verschränkte atomare
Qubits auf relativ einfache Weise zu erzeugen.[8] Dennoch ist der
Quantencomputer gegenwärtig noch ein überwiegend theoretisches Konzep0t.
Mathematische Betrachtung
Die folgende Diskussion setzt Kenntnisse in der Bra-Ket-Notation
und der allgemeinen mathematischen Formulierung der Quantenmechanik voraus.
Es seien zwei Systeme und mit den Hilbert-Räumen und
gegeben. Der Hilbert-Raum des zusammengesetzten Systems ist der
Tensorproduktraum . Das System sei im reinen Zustand und System im reinen
Zustand . Dann ist der Zustand des zusammengesetzten Systems ebenfalls rein und
gegeben durch:
Reine Zustände, die sich in dieser Form schreiben
lassen, nennt man separabel oder Produktzustände.
Wählt man Orthonormalbasen und der Hilbert-Räume und
, dann kann man die Zustände nach diesen Basen entwickeln und erhält mit
komplexen Koeffizienten und :
Ein allgemeiner Zustand auf hat die Form:
Die separablen Zustände von sind die, deren
Koeffizienten die Darstellung erlauben, also die wie oben faktorisiert werden
können. Ist ein Zustand nicht separabel, so nennt man ihn verschränkt.
Zum Beispiel seien zwei Basisvektoren von und zwei
Basisvektoren von gegeben. Dann ist der folgende Zustand, der sog. „Singulett-Zustand“,
verschränkt:[9]
Wenn das zusammengesetzte System in diesem Zustand
ist, haben weder noch einen bestimmten Zustand, sondern ihre Zustände sind
überlagert und die Systeme sind in diesem Sinne verschränkt.
Als quantenmechanische Messwerte können nur
Eigenwerte hermitescher Operatoren auftreten. Seien nun also „Messoperatoren“ in
jedem der beiden Teilsysteme und gegeben, welche die folgenden beiden
Eigenwertgleichungen erfüllen:
.
Durch das Tensorprodukt mit dem Einsoperator kann man
mit obigen Messoperatoren der Teilsysteme einen Operator auf dem
Tensorproduktraum erzeugen, wobei das System, an dem gemessen wird, dann im
Subskript notiert ist:
Man nehme an, Alice beobachte System , Bob System .
Wenn Alice die Messung durchführt, können mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei
Ergebnisse auftreten:[10]
Alice misst , und der Zustand des Systems kollabiert
zu
Alice misst , und der Zustand kollabiert zu
Im ersten Fall wird jede weitere Messung durch Bob
immer ergeben, im zweiten Fall immer . Also wurde das System durch die von Alice
durchgeführte Messung verändert, auch wenn A und B räumlich getrennt sind. Hier
liegt das EPR-Paradoxon begründet, und auch die sog. Quantenteleportation.
Das Ergebnis von Alices Messung ist zufällig, sie
kann nicht den Zustand bestimmen, in den das System kollabiert, und kann daher
durch Handlungen an ihrem System keine Informationen zu Bob übertragen. Eine
mögliche Hintertür: Sollte Bob mehrere exakte Duplikate der Zustände machen
können, die er empfängt, könnte er auf statistischem Weg Informationen sammeln –
das No-Cloning-Theorem beweist aber die Unmöglichkeit des Klonens von Zuständen.
Daher wird – wie oben erwähnt – die Kausalität nicht verletzt.
Der Grad der Verschränkung eines Zustandes wird
monoton durch die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators des
Zustandes gemessen. Die Von-Neumann-Entropie des reduzierten Dichteoperators
eines unverschränkten Zustandes ist null. Dagegen ist die Von-Neumann-Entropie
eines reduzierten Dichteoperators eines maximal verschränkten Zustandes (wie
z. B. eines Bell-Zustandes) maximal.[11]
Hier sei noch darauf hingewiesen, dass es neben den
oben besprochenen verschränkten reinen Zuständen (denen die reinen
Produktzustände – ohne Verschränkung – gegenüberstehen) die verschränkten
gemischten Zustände gibt (denen die gemischten Produktzustände – ohne
Verschränkung – gegenüberstehen).
Test auf Verschränkung
Für einen reinen verschränkten Zustand eines Systems,
das sich aus einem Teilsystem 1 und einem Teilsystem 2 zusammensetzt, gilt .
Bildet man die Partialspur über eines der beiden Systeme (z. B. System 1), so
erhält man den reduzierten Dichteoperator . Betrachtet man nun das Quadrat des
reduzierten Dichteoperators und ist dieses ungleich , so beschreibt der
reduzierte Dichteoperator ein Gemisch[12] und somit beschreibt einen
verschränkten Zustand. Denn bei einem verschränkten Zustand erzeugt die
wiederholte Messung an einem System ein klassisches Gemisch von Zuständen im
anderen System. Läge ein nicht-verschränkter Zustand vor, so würde die Messung
an einem System den Zustand im anderen System nicht verändern.
Alternativ zu obigem Test kann die Schmidt-Zerlegung
durchgeführt werden. Falls die Schmidt-Zerlegung mehr als einen Term hat, ist
der Zustand verschränkt.[13]
Siehe auch
Emergenz
Kohärenz (Physik)
Dekohärenz
Quanteninformation
Quantenkanal
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Helmut Fink: Interpretation verschränkter Zustände:
Die Quantenwelt – unbestimmt und nichtlokal? In: Physik in unserer Zeit. 4/2004,
S. 168–173.
Anton Zeilinger: Einsteins Schleier – Die neue Welt
der Quantenphysik. Goldmann, München 2005, ISBN 3-442-15302-6.
Anton Zeilinger: Einsteins Spuk – Teleportation und
weitere Mysterien der Quantenphysik. Bertelsmann, München 2005, ISBN
3-570-00691-3.
Jürgen Audretsch: Verschränkte Systeme – die
Quantenphysik auf neuen Wegen. Wiley-VCH, Weinheim 2005, ISBN 3-527-40452-X.
Ingemar Bengtsson, Karol Zyczkowski: Geometry of
quantum states – an introduction to quantum entanglement. Cambridge University
Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-81451-0.
Andreas Buchleitner et al.: Entanglement and
decoherence – foundations and modern trends. Springer, Berlin 2009, ISBN
978-3-540-88168-1.
Howard Wiseman: Bell’s theorem still reverberates.
Nature Comment, 19. Juni 2014.